ANÁLISIS FINANCIERO DE UNA NUEVA MODALIDAD DE PRÉSTAMO
Esteban Sánchez Sánchez

Corredor de Comercio Colegiado

SUMARIO: I.- INTRODUCCIÓN. II.- UNA NUEVA MODALIDAD DE PRÉSTAMO. III.- COMPARACIÓN CON MODALIDADES AFINES. IV.- ENFOQUE PRÁCTICO: SOLUCIONES INFORMÁTICAS. 1.- En calculadora programable. 2.- En hoja de cálculo Lotus. 3.- En hoja de cálculo Excel. 4.- Elaboración de un programa. V.- CONCLUSIONES.

I. INTRODUCCIÓN

Desde el punto de vista económico, el interés es el precio por el uso del dinero, la recompensa por la renuncia al consumo presente. En términos de coste de oportunidad, es aquél en el que incurre quien aguarda a recibir un dinero o quien renuncia a demorar su pago. No menos amplio es el concepto jurídico que nos ofrece el artículo 315 del Código de Comercio: "Se reputará interés toda prestación pactada a favor del acreedor". La necesidad de utilizar una medida relativa del precio del dinero hace surgir el concepto de tipo de interés que, como es sabido, admite múltiples expresiones.

El préstamo es un contrato, pero también una operación financiera basada en la equivalencia de capitales. En particular, el préstamo bancario suele ser una operación financiera compuesta, esto es, formada por una prestación única y una contraprestación múltiple, siendo la finalidad de la contraprestación amortizar o reembolsar el capital prestado(1). Aparecen así distintos sistemas amortizativos al hacer hipótesis sobre los términos amortizativos, las cuotas de amortización o cualquiera de las variables que intervienen en la operación de amortización: americano, cuotas de amortización constantes o italiano, francés, alemán, etc... El prestatario se sitúa ante distintas alternativas que frecuentemente no están definidas de una manera homogénea, lo que hace necesario buscar un parámetro indicativo del coste o rendimiento que sirva como criterio de comparación.

La tasa de recargo o tipo de interés flat nos ofrece una primera aproximación al coste o la rentabilidad de la operación (según esta última sea analizada desde la perspectiva del prestatario o de la Entidad de Crédito), pero carece de consistencia para fundamentar una decisión financiera. Por la misma razón, el Banco de España mediante Recomendación de 21 de Agosto de 1985, desaconsejó a las Entidades la práctica consistente en calcular la anualidad o la cuota semestral o trimestral constante de acuerdo con el interés pactado, y dividir su importe entre el número de periodos en los que se fracciona su pago, pues de este modo se cobran intereses sobre capital ya amortizado(2).

Más cercano al coste o rentabilidad real se halla el tipo de interés nominal, la expresión de uso más generalizado, al venir referido siempre al mismo periodo de tiempo, y tomar en consideración el carácter vencido o anticipado de las liquidaciones de interés y el divisor aplicable (año civil o año comercial(3)) para el cálculo de su valor absoluto. Los documentos contractuales relativos a las operaciones bancarias de préstamo y crédito deben recoger el tipo de interés nominal de forma clara y explícita(4), así como la periodicidad con que se producirá el devengo de los intereses.

Pero el tipo de interés nominal no tiene en cuenta adecuadamente la periodicidad de los pagos ni la frecuencia de capitalización, ni toma en consideración las comisiones bancarias(5). Estas últimas son en ocasiones un elemento retributivo más del capital prestado excediendo el coste del servicio y, en todos los casos, inciden de manera no despreciable en el coste o rentabilidad de la operación.

Las Entidades de Crédito pueden establecer libremente sus tarifas de comisiones, condiciones y gastos repercutibles a la clientela por las operaciones y servicios que realizan(6). La liberalización de las comisiones bancarias, enmarcada en la liberalización de nuestro sistema financiero supuso, en la práctica, una mayor desprotección para el usuario de servicios financieros. La existencia de las llamadas características comerciales, esencialmente las comisiones bancarias y los impuestos(7), exige distinguir entre la operación financiera pura o nominal, que es aquella en la que no existen o no se consideran las características comerciales, y la operación financiera real. Circunscribiéndonos a las operaciones bancarias activas(8), la actual obligatoriedad de hacer constar la tasa anual equivalente (TAE) en la mayor parte de las operaciones crediticias constituye un inestimable logro, y facilita al usuario un buen criterio para la toma de decisiones(9).

Según la Circular 8/1990 del Banco de España, los tipos de interés, costes o rendimientos efectivos de las operaciones financieras se expresarán en tasas porcentuales anuales pagaderas a término vencido equivalente, definiéndose la tasa porcentual equivalente como aquella que iguala en cualquier fecha el valor actual de los efectivos recibidos y entregados a lo largo de la operación por todos los conceptos, incluido el saldo remanente a su término. El TAE pretende expresar el tanto efectivo real de la operación, que es definido por MENEU(10) como "el rédito anual o tanto efectivo de la ley de capitalización compuesta que verifica la equivalencia financiera entre la prestación real y la contraprestación real". Es el tipo de rentabilidad interna de la inversión para el prestamista, que coincide sustancialmente con la tasa de coste efectivo de la operación para el prestatario.

Aunque tampoco el TAE está exento de limitaciones(11). En primer lugar, en su determinación no inciden todos los gastos que la operación ocasiona al prestatario, ya que quedan excluidos los gastos complementarios y los suplidos(12). En segundo lugar, no tiene en cuenta las consecuencias de índole fiscal de la operación: las cargas por impuestos y las posibles subvenciones o desgravaciones. Surge así un nuevo concepto, el coste o rendimiento financiero-fiscal, que es definido por MENEU(13) como "el rédito anual o tanto efectivo de la ley de capitalización compuesta que verifica la equivalencia financiera entre la prestación y la contraprestación neta después de impuestos del deudor o del acreedor". Por último y como consideración general, en el uso de la tasa interna de rendimiento (TIR) como criterio de selección de proyectos de inversión o financiación se halla implícita la hipótesis, en ocasiones poco verosímil, de que los flujos intermedios de caja son reinvertidos al mismo tipo de interés, asumiéndose el denominado riesgo de reinversión. Puesto que los ingresos que obtiene el consumidor en periodos inferiores al año suelen permanecer inactivos, SÁNCHEZ SÁNCHEZ considera mejor valor indicativo del coste para el deudor el resultado de capitalizar a interés simple la tasa interna de rendimiento del periodo fraccionario, procedimiento seguido en los Estados Unidos para el cálculo del annual percentage rate (APR)(14).

A pesar de todo, y correctamente interpretado, el TAE proporciona una medida objetiva del coste real y permite seleccionar entre varias la oferta de financiación más ventajosa, al tratarse de un tipo de interés efectivo, referido siempre al mismo periodo de tiempo, que toma en consideración el carácter vencido o anticipado de las liquidaciones de interés y el divisor utilizado para su cálculo, la frecuencia de capitalización de los intereses, la periodicidad de los pagos, y en cuya determinación inciden todas y cada una de las comisiones pactadas para el caso de que la operación se desarrolle con normalidad(15).

Una medida financiera distinta, absoluta y no relativa, es la que proporciona el Valor Actualizado Neto (Discounted Cash Flow o Net Present Value). El VAN de un proyecto de inversión puede definirse como el capital con valor en el origen que resulta al deducir de la corriente actualizada de cobros el valor igualmente actualizado de los pagos que genera la inversión. Aunque resulta más frecuente su utilización como criterio de selección de inversiones, es igualmente válido como criterio de selección entre diversos proyectos de financiación, y permite ordenarlos jerárquicamente. Salvo casos particulares, conducirá a adoptar las mismas decisiones que el criterio TIR. La principal dificultad estriba en la elección del tipo de interés subjetivo que haya de actuar como referencial, uno de cuyos componentes es la depreciación monetaria como consecuencia de la inflación.

La inexistencia de una cultura financiera es el argumento comunmente utilizado por quienes minusvaloran la importancia de la tasa anual equivalente. La aparición de nuevos productos financieros con características muy similares a los ya conocidos, pero cuyo coste o rentabilidad difiere sensiblemente, refuerza la necesidad de un análisis riguroso para la adopción de decisiones financieras correctas.

Es indudable que la cultura financiera del cliente medio de Banca ha aumentado considerablemente en los últimos años, lo que se manifiesta en una mayor sensibilidad de los clientes a las diferencias de precios y la exigencia de productos que se adecúen mejor a sus necesidades específicas. En parte, como consecuencia del aumento generalizado de nuestro nivel cultural. La normativa sectorial, sobre todo de carácter administrativo hasta la publicación de la Ley 7/1995 de 23 de Marzo, de crédito al consumo, ha ahondado en el proceso de normalización de las cláusulas financieras, ampliando la información que las Entidades deben suministrar a su clientela acerca de los productos y servicios que ofrecen. Acertadamente, la necesaria regulación no ha supuesto restricciones importantes a la libertad de contratación, y participa en la idea de que la forma más eficaz de proteger al demandante de crédito consiste en estimular la competencia entre las Entidades facilitando la comparación de las ofertas.

Sin embargo, el proceso anterior ha venido acompañado por un aumento en el número y complejidad de los productos financieros. No parece haberse reducido el número de conflictos entre las Entidades financieras y sus clientes y, en la mayoría de los casos, el consumidor potencial continúa careciendo de los conocimientos financieros necesarios para tomar decisiones. En buena medida, el legislador ha confiado a los fedatarios públicos la tarea de garantizar la eficacia de las normas de protección a la clientela(16), y corresponde a éstos lograr que la profusa información suministrada por las Entidades sea correctamente comprendida por sus destinatarios.

II. UNA NUEVA MODALIDAD DE PRÉSTAMO

El siguiente caso, con datos extraídos de un contrato de préstamo elaborado por una Entidad de Crédito, fue objeto de examen en las oposiciones restringidas entre Corredores de Comercio celebradas los días 14 y 15 de febrero de 1995.

"También desea el señor Carlson suscribir, en su propio nombre y derecho, una póliza de préstamo, fechada en el día de hoy (14 de febrero de 1995), por importe de 4.500.000 pesetas que presenta las siguientes condiciones financieras: interés nominal anual 12,5%, comisión de apertura: 1,5% sobre el principal. La restitución del capital y pago de intereses se hará mediante el pago de 24 cuotas mensuales de 213.137 pesetas cada una, comprensivas de capital más intereses y con vencimientos consecutivos de la citada periodicidad desde el día 14 de marzo de 1995 hasta el 14 de febrero de 1997. El importe de estas cuotas estará constituido por la parte de principal que se amortiza en cada periodo más los intereses, percibidos por anticipado, del periodo siguiente. La primera cuota recogerá, además, los intereses vencidos del primer periodo. El anexo I contiene el cuadro de amortización.

El importe absoluto de los intereses devengados se obtiene a partir de la siguiente expresión matemática:

C * r * t

i =1.200

Donde:

C = Capital del préstamo pendiente de amortización.

r = Tipo de interés nominal anual, expresado en tanto por ciento.

t = Tiempo expresado en meses.

Este caso tampoco está contemplado en los programas de ordenador que el cliente tiene en su oficina, por lo que desea conocer:

a) Fórmula empleada por la entidad de crédito para obtener la cuota mensual, comprensiva de capital e intereses. ¿Presenta alguna similitud con alguno de los métodos de amortización clásicos?.

b) Ley financiera de las cuotas de amortización."

Sea:

P = Principal

a = Cuotas periódicas, comprensivas de capital e interés.

i* = Interés del periodo, expresado en tanto por uno.

Mn = Cuota de amortización del periodo n.

La última cuota de amortización coincide con el término amortizativo, pues los intereses son anticipados y el último pago no tiene componente de interés.

a = M1 + (M1+M2 +...... +Mn) i* + (M2+M3+.....+Mn) i*

a = M2 + (M3+M4+......+Mn) i*

a = M3 + (M4+M5+......+Mn) i*

.......................................

a = Mn-2 + (Mn-1+Mn) i*

a = Mn-1 + Mn i*

a = Mn

****************

Mn = a

Mn-1 = Mn (1-i*) = a (1-i*)

Mn-2 = Mn-1 (1-i*) = a (1-i*)2

Mn-3 = a (1-i*)3

.......................................

M2 = a (1-i*)n-2

M1 = a (1-i*)n-1 - P i*

Sumando las ecuaciones anteriores tenemos:

Mn + Mn-1 + .......+ M2 + M1 = a [1 + (1-i*) + (1-i*)2

+ (1-i*)3 +........+ (1-i*)n-1] - P i*

cuyo resultado indica que las cuotas de amortización, excepción hecha de la primera, crecen en progresión geométrica de razón (1-i*)-1. La suma de los términos de una progresión geométrica, siendo a1 el valor del primer término, r la razón y n el número de términos, viene dada por la expresión [(a1*rn)-a1] / (r-1), luego

a [(1-i*)n -1]

P = - P i*

1-i*-1

a [1- (1-i*)n]

P (1+i*) = i*

i*

a = P (1+i*)() [1-(1-i*)n]

Cada cuota de amortización es igual a la anterior dividida por (1-i*), excepto las dos primeras que no pueden determinarse conforme a la ley general.

M1 = a (1-i*)n-1 - P i*

M2 = a (1-i*)n-2

M3 = a (1-i*)n-3 = M2 / (1-i*)

..............................

Mx = a (1-i*)n-x = Mx-1 / (1-i*)

El capital amortizado y la reserva matemática o capital pendiente de amortizar, pueden hallarse a lo largo de la vida del contrato por cualquiera de los métodos conocidos: recurrente, retrospectivo y prospectivo. Siendo Cx la deuda viva al comienzo del periodo x,

Cx = (Cx-1 - a) / (1 - i*) (para x > 1)

(1-i*)-x -1

Cx = P (1+i*) - a (1-i*)n i*

1 - (1-i*)n-x

Cx = a

i*

Como caso particular, la deuda pendiente tras el vencimiento del primer pago será

C1 = (P (1+i*) - a) / (1-i*)

Las anteriores ecuaciones pueden también expresarse en función del rédito de capitalización i equivalente financieramente, como luego veremos, al tipo de interés prepagable i* mediante la fórmula de conversión (1+i) = (1-i*)-1. Así, podrá obtenerse el valor del término amortizativo

a 1 - (1+i)-n

P = (1+i)2

(1+2i) i

1+2i i

a = P

(1+i)2 1 - (1+i)-n

las cuotas de amortización,

M1 = a (1+i) - 2Pi

M2 = a (1+i)-(n-2)

M3 = a (1+i)-(n-3) = M2 (1+i)

..............................

Mx = a (1+i)-(n-x) = Mx-1 (1+i)

y la deuda pendiente.

C1 = P (1+2i) - a (1+i)

Cx = (Cx-1 - a) (1+i) (para x > 1)

i (1+i)x-1

Cx = P (1+ ) - a (1+i)-(n-1) 1+i i

1 - (1+i)-(n-x)

Cx = a (1+i)

i

La tasa anual equivalente (TAE) se determinará conforme a la expresión matemática general contenida en el Anexo V de la Circular del Banco de España 8/1990(17). Sea Ca la comisión de apertura, m el número de pagos por año, e im el tanto efectivo periódico equivalente financieramente al TAE.

P - Ca = a (1+im)-1 + a (1+im)-2 + ... + a (1+im)-n

1 - (1 + im)-n

= a

im

Ecuación de grado n que ha de resolverse por el procedimiento de prueba y error.

TAE = [(1 + im)m-1] * 100

III. COMPARACIÓN CON MODALIDADES AFINES

En las operaciones de préstamo con intereses anticipados, el prestatario paga en el momento inicial los intereses correspondientes al primer periodo y, al final de cada periodo, un término amortizativo que comprende la cuota de amortización del periodo y los intereses del periodo siguiente determinados sobre el capital vivo. El método de amortización con intereses anticipados más habitual es el que se conoce como método alemán o de la Europa Central, caracterizado por la amortización en periodos de igual duración, mediante términos amortizativos constantes a réditos anticipados igualmente constantes. El valor de a viene dado por la siguiente expresión(18):

i*

a = P

1 - (1-i*)n

Resulta obvia la similitud del caso planteado con el préstamo alemán cuyo principal es P * (1+i*).

La nueva modalidad presenta una indudable ventaja, y es que atiende íntegramente las necesidades de financiación del prestatario, pudiendo éste disponer del capital solicitado sin otra minoración que la relativa a las comisiones de formalización.

Como es sabido, en las operaciones de préstamo amortizables por el método alemán, el deudor recibe el nominal del préstamo P, e inmediatamente paga los intereses calculados sobre el mismo al rédito de contracapitalización i*. Siendo P* el capital neto

P* = P (1-i*)

P = P* (1+i)

luego(19)

(1+i) = (1-i*)-1

i* i

i = i* =

1 - i* 1 + i

Las operaciones con intereses prepagables y postpagables son, por tanto, financieramente equivalentes. Las anteriores relaciones nos permiten hacer uso de las fórmulas del método francés (términos amortizativos constantes con réditos periodales postpagables y constantes), sin más que aplicar el rédito de capitalización i y sustituir el valor del término amortizativo a por a*, donde

a* = a (1 + i)

Igualmente es posible la equiparación del caso expuesto al préstamo francés, puesto que

1 - (1+i)-n

P (1+i*) = a (1+i)

i

donde

1+i*

= (1+i*) (1-i*) = 1 - i*2

1+i

Es decir, el capital P puede ser igualmente amortizado por el método francés mediante rentas constantes y periódicas de cuantía a** al tipo de interés i, siendo

i* a

i = a** =

1-i* 1-i*2

O expresado de otro modo, términos amortizativos constantes de cuantía a al rédito de capitalización i, permiten amortizar un capital P**, siendo

P** = P (1+i*) (1-i*) = P (1 - i*2)

La ventaja (o inconveniente) del método analizado respecto al método francés, se encuentra en el diferente tipo de rendimiento interno (TIR) de la operación.

El coste de la operación para el prestatario es, en términos de TAE y para igual tipo de interés nominal pactado, sensiblemente superior al que correspondería a un préstamo amortizable mediante el método francés, y próximo al que obtendríamos por el método alemán.

Con los datos del ejemplo y habiéndose pactado en todos los casos un tipo de interés nominal anual del 12,50 por ciento, al tomar en consideración el carácter vencido o anticipado de las liquidaciones de interés y las comisiones de formalización, obtenemos resultados diferentes para cada uno de los sistemas amortizativos analizados. Sea D la cantidad puesta a disposición del prestatario en el origen.

- CASO 1.- Préstamo francés:

D1 = 4.500.000 - 67.500 = 4.432.500

0,125/12

a1 = 4.500.000 = 212.883

1 - (1 + 0,125/12)-24

4.432.500 = 212.882,88 [(1+i12)-1 + (1+i12)-2 + .... + (1+i12)-24]

TAE1 = [(1+i12)12-1] * 100

DISPOSICIONES 4.432.500

REEMBOLSOS -212.883 -212.883 -212.883 ..... -212.883 -212.881

0 1 2 3 ..... 23 24

- CASO 2.- Nueva modalidad:

D2 = 4.500.000 - 67.500 = 4.432.500

0,125/12

a2 = 4.500.000 (1+0,125/12) = 213.137

(1-(1-0,125/12)24)

4.432.500 = 213.137,17 [(1+i12)-1 + (1+i12)-2 + ... + (1+i12)-24]

TAE2 = [(1+i12)12-1] * 100

DISPOSICIONES 4.432.500

REEMBOLSOS -213.137 -213.137 -213.137 ..... -213.137 -213.141

0 1 2 3 ..... 23 24

- CASO 3.- Préstamo alemán:

D3 = 4.500.000 (1 - 0,125/12) - 67.500 = 4.385.625

0,125/12

a3 = 4.500.000 = 210.940

1 - (1 - 0,125/12)24

4.385.625 = 210.939,88 [(1+i12)-1 + (1+i12)-2 + ... + (1+i12)-24]

TAE3 = [(1+i12)12-1] * 100

DISPOSICIONES 4.385.625

REEMBOLSOS -210.940 -210.940 -210.940 ..... -210.940 -210.936

0 1 2 3 ..... 23 24

Si Ca = 0 Si Ca = 67.500

TAE1 = 13,2416% TAE1 = 14,9699%

TAE2 = 13,3769% TAE2 = 15,1079%

TAE3 = 13,3891% TAE3 = 15,1390%

IV. ENFOQUE PRÁCTICO: SOLUCIONES INFORMÁTICAS

La informática aplicada a la resolución de problemas de cálculo nos ayuda ahorrándonos tiempo y evitando errores.

1. EN CALCULADORA PROGRAMABLE

Las calculadoras programables (Hewlett Packard 18C o 19B Business Consultant, entre otras) permiten, junto a las aplicaciones financieras habituales, que introduzcamos nuestras propias fórmulas. Así, en la calculadora Hewlett Packard 95LX es posible plantear y resolver el problema como muestran las figuras 1 a 7.

Figura 1

-----------Catálogo Ecuaciones----------

a=P*(1+i)*(i/(1-((1-i)^n)))

M1=a*(1-i)^(n-1)-P*i

P-Ca=a*((1-((1+(1+TAE/100)..

Editar INS

Ayuda BORRAR Buscar Calc

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

Las ecuaciones del catálogo nos permiten obtener sucesivamente el valor del término amortizativo (a), la cuota de amortización correspondiente al primer periodo (M1), y la tasa anual equivalente (TAE).

Figura 2

----------Editor de Resolución----------

a=P*(1+i)*(i/(1-((1-i)^n)))

Matem Conv Fin No.

Ayuda Trig Prob Otros Calc

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

Figura 3

-------------Resolver Cálculo-----------

Ecuación: a=P*(1+i)*(i/(1-((1-i)^n)))

a = 213.137,176238

P = 4.500.000

i = 0,01041666666

n = 24

a = 213.137,176238

a i

Ayuda P n

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

Figura 4

----------Editor de Resolución----------

M1=a*(1-i)^(n-1)-P*i

Matem Conv Fin No.

Ayuda Trig Prob Otros Calc

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

Figura 5

-------------Resolver Cálculo-----------

Ecuación: M1=a*(1-i)^(n-1)-P*i

M1= 120.643,8833

a = 213.137,17

i = 0,0104166666

n = 24

P = 4.500.000

M1= 120.643,8833

M1 i P

Ayuda a n

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

Figura 6

----------Editor de Resolución----------

P-Ca=a*((1-((1+(1+TAE/100)^(1/m)..

-1)^(-n)))/((1+TAE/100)^(1/m)-1))

Matem Conv Fin No.

Ayuda Trig Prob Otros Calc

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

Figura 7

-------------Resolver Cálculo-----------

Ecuación:P-Ca=a*((1-((1+(1+TAE/100..

P = 4.500.000

Ca= 67.500

a = 213.137,17

TAE= 15,1079021216

m = 12

n = 24

TAE= 15,1079021216

P a m

Ayuda Ca TAE n

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

2. EN HOJA DE CÁLCULO LOTUS

El elemento básico en la hoja de cálculo es la celda, cuya dirección viene determinada por la intersección entre una columna, a la que está asignada una letra, y una fila, a la que se asigna un número. Es posible gestionar (por ejemplo, sumar o copiar), grupos de celdas contiguas como una unidad lógica que se denomina rango. Es la herramienta idónea para la elaboración del cuadro de amortización, lo que resulta sencillo una vez conocida la ley que siguen las cuotas.

La hoja de cálculo permite introducir fácilmente fórmulas, existiendo además funciones predefinidas que son fórmulas ya programadas. Todas las funciones empiezan por el signo ampersand (@) seguido del nombre de la función, y precisan de uno o varios argumentos, lo encerrado entre paréntesis, en base a los cuales se efectúan los cálculos.

En Lotus 1-2-3, el cálculo de a puede simplificarse mediante el uso de la función @AMORT(principal; interés; periodo), función financiera que permite obtener el pago constante de un préstamo francés.

a = @AMORT( P**; i; n)

= @AMORT( P*(1-i*^(2)); i*/(1-i*); n)

= @AMORT( P*(1+2*i)*(1+i)^(-2); i; n)

Otras funciones definidas y con aplicación a rentas periódicas son @VALACT(pago; interés; periodo) y VALFUT(pago; interés; periodo), que permiten obtener el valor actual y final de una renta postpagable. @TIR(valor estimado; rango) proporciona la tasa de retorno interna para un rango de valores, y @TASA( valor futuro; valor actual; periodo) el tipo de interés periódico.

El capital amortizado y la reserva matemática o capital pendiente de amortizar, pueden determinarse a lo largo de la vida del contrato mediante el uso de las funciones @VALACT() y @VALFUT() por los métodos recurrente, retrospectivo y prospectivo. Siendo Cx la deuda viva al comienzo del periodo x:

C1 = (P * (1+i*) - a) / (1-i*)

= P * (1+2*i) - a * (1+i)

CX = (Cx-1 - a) / (1-i*) (para x > 1)

= (Cx-1 - a) * (1+i) (para x > 1)

Cx = P * (1+i*) * (1+i)^(x) - @VALFUT( a * (1+i); i; x)

= P*(1+i*) * (1-i*)^(-x) - @VALFUT( a/(1-i*); i* / (1-i*); x)

= P * (1+2*i) * (1+i)^(x-1) - @VALFUT( a * (1+i); i; x)

Cx = @VALACT( a / (1-i*); i* / (1-i*); n-x)

= @VALACT( a * (1+i); i; n-x)

A modo de introducción en el manejo de la hoja de cálculo, podemos situar en las celdas C4, C6 y C8, el valor de los términos amortizativos correspondientes a préstamos de igual importe, duración, tipo de interés nominal y periodicidad de los pagos, y amortizables por el método francés, el nuevo sistema y el método alemán, como resultado de las siguientes expresiones:

E2: +E1/D1

E3: 1/(1-E2)-1

C4: @AMORT(B1;E2;C1)

C6: @AMORT(B1*(1-E2^2);E3;C1)

C8: @AMORT(B1/(1+E3);E3;C1)

A B C D E

1 DATOS: 4500000 24 12 0,125

2 0,01041666

3 0,01052631

4 FRANCÉS: 212883

5

6 NUEVO: 213137

7

8 ALEMÁN: 210940

9

Otras funciones financieras, como @AMORTIZ(), @TASAINT() o @NPERIODO(), algunas de ellas incorporadas recientemente a la nueva versión 5 para Windows, tienen su correspondiente en hoja Excel y un uso análogo.

3. EN HOJA DE CÁLCULO EXCEL

La hoja de cálculo Excel de Microsoft conoce la función financiera @VA(tasa; nper; pago; vf; tipo), y las que permiten, en una operación de préstamo amortizable mediante cuotas progresivas, obtener una variable en función de las restantes, a saber, @PAGO(), @TASA(), @NPER() Y @VF(), siendo

@PAGO() = término amortizativo constante

@TASA() = tipo de interés periódico

@NPER() = número de pagos

@VA() = valor actual

@VF() = valor futuro de la inversión

El argumento "tipo" es opcional, y debe asignársele valor 1 en el caso de rentas que se devengan por periodos anticipados. Si se omite toma valor 0, al igual que vf. Luego,

a = @PAGO( i; n; -P**)

= @PAGO( i*/(1-i*); n; -P*(1-i*^(2)))

= @PAGO( i; n; -P*(1+2*i)*(1+i)^(-2))

El capital pendiente de amortizar puede determinarse mediante el uso de las funciones @VA() y @VF().

C1 = (P * (1+i*) - a) / (1-i*)

= P * (1+2*i) - a * (1+i)

Cx = (Cx-1 - a) / (1-i*) (para x > 1)

= (Cx-1 -a) * (1+i) (para x > 1)

Cx = P * (1+i*) * ((1+i)^(x)) - @VF( i; x; -a * (1+i))

= P * (1+i*) * ((1-i*)^(-x)) - @VF( i*/(1-i*); x; -a / (1-i*))

= P * (1+2*i) * (1+i)^(x-1) - @VF( i; x; -a * (1+i))

Cx = @VA( i* / (1-i*); n-x; -a / (1-i*))

= @VA( i; n-x; -a * (1+i))

También resulta de utilidad la función @PAGOINT(tasa; periodo; nper; va; vf; tipo), que permite obtener la cuota de interés de un periodo determinado en un préstamo amortizable por el método francés. En nuestro caso, la componente de interés del primer término amortizativo viene dada por la siguiente expresión:

I1 = @PAGOINT( i*; 1; n; -P) + @PAGOINT( i; 2; n; -P**)

= @PAGOINT( i*; 1; n; -P) + @PAGOINT( i*/(1-i*); 2; n; -P*(1-i*^2))

= @PAGOINT( i/(1+i); 1; n; -P) + @PAGOINT( i; 2; n; -P*(1+2*i)*(1+i)^(-2))

y en cualquier otro momento posterior

Ix = @PAGOINT( i; x+1; n; -P**)

= @PAGOINT( i*/(1-i*); x+1; n; -P*(1-i*^2))

= @PAGOINT( i; x+1; n; -P*(1+2*i)*(1+i)^(-2))

La función @TIR( valores; estimar) permite determinar el tipo de rendimiento interno o tasa de retorno del proyecto de inversión o financiación, una vez definida la lista de flujos de caja. Puesto que viene determinada por una ecuación de grado n, la resolución tiene lugar por tanteo. Si se omite el argumento "estimar", @TIR() utiliza el rango 0,1% a 10%; suministrando un valor se reduce el número de iteraciones. En supuestos de rentas constantes y periódicas, como el examinado, el cálculo de la tasa anual equivalente se simplifica mediante el uso de la función TASA().

TAE = ((1 + @TASA( n; -a; P-Ca))^m - 1) * 100

Partiendo de los datos del ejemplo y resolviendo en hoja Excel

P = 4.500.000

n = 24

i* = + 0,125/12 = 0,0104166666

Ca = + 4.500.000 * 1,50/100 = 67.500

i = + 0,0104166666 / (1 - 0,0104166666) = 0,0105263157

P** = + 4.500.000 * (1 - 0,0104166666^2) = 4.499.511,71

........................................

a = @PAGO( 0,0105263157; 24; -4.499.511,71) = 213.137,17

........................................

M1 = + 213.137,17 * (1-0,0104166666)^23 - 4500.000 * 0,0104166666 = 120.643,88

M5 = + 213.137,17 * (1-0,0104166666)^19 = 174.684,46

........................................

I1 = @PAGOINT( 0,0104166666; 1; 24; -4.500.000)

+ @PAGOINT( 0,0105263157; 2; 24; -4.499.511,71) = 92.493,29

I5 = @PAGOINT( 0,0105263157; 6; 24; -4.499.511,71) = 38.452,71

........................................

C1 = + (4.500.000*1,0104166666-213.137,17)*1,0105263157 = 4.379.356,11

C4 = + 4.500.000 * 1,0104166666 * 1,0105263157^4

- @VF( 0,0105263157; 4; -213.137,17*1,0105263157) = 3.866.144,91

C5 = @VA( 0,0105263157; 19; -213137,17*1,0105263157) = 3.691.460,42

C6 = + (3.691.460,42-213.137,17)*1,0105263157 = 3.514.937,17

........................................

TAE = + ((1+@TASA( 24; -213.137,17; 4.500.000-67.500))^12-1) * 100

= 15,10790212

4. ELABORACIÓN DE UN PROGRAMA

Aunque la solución definitiva es la elaboración de un programa en un lenguaje como el DBASE para lo cual, y sin excesivas pretensiones, basta transcribir estas líneas.

**** CÁLCULO DE a Y M1 ****

CLEAR

SET PRINTER ON

INPUT "Introducir principal: " TO P

INPUT "Introducir tipo de interés: " TO i

INPUT "Introducir número de pagos: " TO n

a = P*(1+i)*(i/(1-(1-i)^n))

?"a = "+STR(a)

M = a*(1-i)^(n-1)-P*i

?"M1 = "+STR(M)

WAIT

Y pocas líneas más permiten obtener el cuadro de amortización:

**** CUADRO DE AMORTIZACIÓN ****

?" Número Amortización Interés Cuota Pendiente"

NU=1

DO WHILE NU<=n

P=P-M

?SPACE(2)+STR(NU)+SPACE(4)+STR(M)+SPACE(4)+STR(a-M);

+SPACE(4)+STR(a)+SPACE(4)+STR(P)

M=a*(1-i)^(n-NU-1)

NU=NU+1

ENDDO

WAIT

ANEXO

CUADRO DE AMORTIZACIÓN

V. CONCLUSIONES

De lo expuesto puede deducirse lo siguiente:

1) El asesoramiento que los fedatarios públicos estamos obligados a prestar ha de ser completo, es decir, referido tanto a los aspectos jurídicos como al contenido económico del contrato.

2) En el ámbito de la contratación bancaria, el ineludible control de legalidad que conlleva la actuación fedataria sólo resulta posible desde la comprensión del doble lenguaje jurídico y económico.

3) El consumidor debe tomar sus decisiones en base al concepto de TAE y no en función del interés nominal.

4) La importancia de la elaboración del documento fehaciente a que se refiere el art. 1435 LEC, también en la ejecución de los contratos de préstamo, pues la fijación de los intereses no siempre es posible mediante una simple operación aritmética como aún sostiene abundante jurisprudencia menor.

5) La insuficiencia de los programas informáticos de resolución de problemas financieros, pues ninguno abarca la ingente variedad de supuestos que conoce la realidad financiera.

BIBLIOGRAFÍA

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VILLALÓN, Julio: Matemáticas para las aplicaciones financieras y suinformatización. Editorial Tebar Flores. Albacete, 1991.

1. 1 Toda operación financiera supone la existencia de una equivalencia financiera entre los capitales de la prestación y la contraprestación en base a una ley financiera previamente establecida. Suele acordarse que al final de cada periodo los intereses producidos, en lugar de abonarse al prestamista, se incorporen al capital para que la suma de ambos produzca intereses en el periodo siguiente. En la práctica bancaria, la ley financiera utilizada es el régimen de capitalización compuesta o interés compuesto, adoptándose usualmente el convenio lineal consistente en capitalizar a interés simple en los periodos fraccionarios.

2. Véanse, entre otras, las reclamaciones números 998/94 y 1304/94 al Servicio de Reclamaciones del Banco de España.

3. Constituye una práctica bancaria habitual para el cálculo de los intereses de cada periodo, considerar en el dividendo que el año tiene una duración de 365 días pero utilizar 360 como divisor. La O.M. de 12 de Diciembre de 1989, sobre tipos de interés y comisiones, normas de actuación, información a clientes y publicidad de las Entidades de Crédito, exige que el documento contractual contenga la fórmula o método utilizado para obtener, a partir del tipo de interés nominal, el importe absoluto de los intereses devengados.

4. O.M. 12 de Diciembre de 1989, Circular del Banco de España 8/1990, de 7 de Septiembre, sobre transparencia de las operaciones y protección de la clientela, modificada por Circulares 13/1993 de 21 de Diciembre, y 5/1994 de 22 de Julio, O.M. de 5 de Mayo de 1994, sobre transparencia de las condiciones financieras de los préstamos hipotecarios, y Ley 7/1995 de 23 de Marzo, de crédito al consumo.

5. Las comisiones bancarias forman parte de la prestación pactada y tienen, por consiguiente, la consideración jurídica de interés.

6. No obstante, las comisiones o gastos repercutidos deben responder a servicios efectivamente prestados o gastos habidos. Limitaciones específicas para la fijación de comisiones se contienen en la Ley 2/1994 de 30 de Marzo, sobre subrogación y modificación de préstamos hipotecarios y en la Ley 7/1995 de 23 de Marzo, de crédito al consumo, en los casos en que las citadas disposiciones resultan de aplicación. La O.M. de 12 de Diciembre de 1989 establece ciertos requisitos de publicidad y comunicación al Banco de España.

7. Forman parte de las características comerciales de la operación todos aquellos pagos efectuados por el prestatario que responden a conceptos distintos del pago de intereses o devolución del principal. MENEU las define como aquellas "condiciones complementarias que provocan que la prestación y/o la contraprestación que los agentes deben de entregar o recibir se modifique en cuantía o vencimiento respecto de la inicialmente planteada". MENEU, JORDÁ, BARREIRA: "Operaciones financieras en el mercado español", pág. 96.

8. Es clásica la distinción que hace GARRIGUES entre operaciones bancarias activas, pasivas y neutras, siendo las primeras aquéllas en las cuales el Banco concede crédito a sus clientes. GARRIGUES: "Curso de Derecho Mercantil", pág. 161.

9. Resulta obligatoria la indicación del TAE, entre otros supuestos, en las operaciones de préstamo y crédito cuyo importe sea inferior a diez millones de pesetas. Con la Ley 7/1995 de 23 de Marzo, de crédito al consumo, la referida obligación se incorpora finalmente a una norma con rango legal, y se extiende a las empresas que concediendo crédito no están sometidas a la legislación sobre Entidades de Crédito.

10. MENEU, JORDÁ, BARREIRA: Obra citada, pág. 99.

11. En las operaciones de apertura de crédito o a interés variable, el conocimiento del significado y formación del TAE resulta aún más necesario. En el primer caso, el TAE se determina bajo la hipótesis poco probable de disposición total a lo largo de la vida del contrato, existiendo reglas particulares para los contratos de crédito sin límite o sin vencimiento. En el segundo caso, bajo el supuesto teórico de que el tipo de referencia inicial permanece constante. La Circular B.E. 5/1994 contiene normas particulares para el caso de que se hubiera pactado un tipo de interés fijo para cierto periodo inicial.

12. La Circular B.E. 13/1993 explicita los gastos que no han de considerarse para el cálculo del TAE, aún cuando debe quedar expresa y claramente indicado que el TAE no los incluye. Conforme a la citada Circular y la Ley 7/1995, incidirán en la determinación del TAE las primas de seguro que tengan por objeto garantizar a la Entidad el reembolso del crédito en caso de fallecimiento, invalidez, o desempleo del prestatario, siempre que la Entidad imponga dicho seguro como condición para conceder el crédito.

13. MENEU, JORDÁ, BARREIRA: Obra citada, pág. 108.

14. SÁNCHEZ SÁNCHEZ, M.P.: "La protección al consumidor en los Estados Unidos de América: el tanto por ciento anual (A.P.R.)", Cuadernos de Derecho y Comercio, número 14, Septiembre de 1994.

15. No pueden preverse, lógicamente, situaciones excepcionales como la morosidad o la cancelación anticipada de la operación.

16. 16 El asesoramiento a los contratantes en materia financiera forma parte del contenido de la profesión del Corredor de Comercio. La incorporación al Derecho español de la normativa comunitaria en materia de crédito al consumo, objeto fundamental de la Ley 7/1995, exige una especial atención por parte de los Corredores de Comercio, quienes están obligados a velar por la observancia de los preceptos legales en el ejercicio de su actuación fedataria (art. 80 del Reglamento de Corredores de Comercio).

17. La Circular B.E. 13/1993, de 21 de Diciembre, suprimió el apartado segundo del Anexo V de la Circular B.E. 8/1990 que contenía las formulaciones específicas para la determinación del TAE en préstamos con amortización al vencimiento y préstamos con amortización mediante cuotas periódicas constantes comprensivas de capital e intereses. No obstante, los procedimientos que se arbitraban continúan siendo válidos y no resultan contradichos por el contenido de la segunda Circular. La Ley 7/1995, de 23 de Marzo, añade ejemplos numéricos para el cálculo del TAE en algunas operaciones bancarias frecuentes, aunque son tan sencillos que resultan poco aclaratorios.

18. La fórmula se deduce de manera análoga a la desarrollada en el epígrafe anterior.

19. Aunque carece de virtualidad práctica, existe un método aproximativo para el cálculo del tanto de descuento en función del rédito de capitalización, y de éste último en razón del primero: i* = i-i2+i3-i4... e i = i*+i*2+i*3+i*4...